數學教育入門文章(林福來教授推薦及簡介) 

林宜臻(93.08.06)摘自: http://www.math.ntnu.edu.tw/~cyc/_private/mathedu/me6/index.htm

 

                      

        

1

Social Constructivism As A Philosophy Of Mathematics
社會建構主義當作一種數學哲學

Ernest, Paul.

2

Mathematics And Common Sense
數學與常識

Howson, Geoffrey.

3

Mathematics Education As A‘ Design Science’
數學教育當作一種「設計科學」

Wittmann,Erich Ch.

4

Relational Understanding And Instrumental Understanding
關係性了解與工具性了解

Skemp, Richard R.

5

Child-Methods In Secondary mathematics
中學數學中的學童法

Booth, Lesley R.

6

Hierarchies In Mathematics Education
數學教育中的層次理論

Hart,K.

7

Concept  Image And Concept Definition In Mathematics With Particular Refference To Limits And Continuity

Tall D. & Vinner S.

8

Folding Back : Dynamics In Growth Of Mathematical Understanding
動態可折回的數學瞭解模式

Pirie S.E.B & Kieren T.F

9

On The Dual Nature Of Mathematical Conceptions: Reflections On Processes And Objects As Different Sides Of The Same Coin
數學概念的對偶性:對過程、對物件的反思是一體的兩面

Sfard .A


10

Information Technology And Mathematics Education: Enthusiasms, Possibilities And Realities

Tall D.

11

Some Experiments In Diagnostic Teaching

Bell A.

12

Challenging The Traditional School Approach To Theorems: A Hypothesis About The Cognitive Unity Of Theorems

Paolo Boero,
Rossella Garuti,Enrica Lemut
M.Alessandra Mariotti

13

Affective Issues in Research on Teaching Mathematical Problem Solving
研究數學解題時的情意問題

Douglas B. McLeod

14

The Pupil's View of Mathematics Learning
學生對數學學習的觀點

Celia Hoyles

15

Translation Processes in Mathematics Education
在數學教育的轉譯過程

Claude Janvier

16

Conceptualizing the Professional Development of Teachers
將教師專業發展概念化

Thomas J. Cooney

17

A Review of Research Perspectives on Mathematics Teacher Education
對於數學教師教育研究觀點的回顧

Stephen Lerman

18

Accounting For Mathematical Learning In The Social Context Of The Classroom

Cobb, Paul.

19

Real Problems with Real World Mathematics

Jan de Lange

 


1.社會建構主義當作一種數學哲學

Social Constructivism As A Philosophy Of Mathematics

作者:Ernest, Paul.

出處C. Asina, J.M. Alvarez, B. Hodgson, C.Laborde & A .Perezi (ed.), 8th ICME selected Lectures (1996), 153-171.

簡介:

本篇是講「社會建構論」,作者Paul Ernest把社會建構主義當作一種數學哲學,他長期以來就有這些想法,這篇文章是他那一本數學教育哲學的書之後才寫的,所以這裡面應該有一些更結晶的想法,尤其他這是講「數學哲學」,不是講「數學教育哲學」,這才有趣喔!因為在數學哲學裡面,這是一個新的觀點,通常我們稱Lakatos所提出的「數學知識是一種證明與反駁的過程下的物」為「擬經驗主義」。Paul是將Lakatos 的想法從知識活動的互動過程強化到人參與的互動環境,因而連結到社會建構主義,為此他這裡面就要有很多的辯證,所以我想只要談社會建構主義的人,這篇文章應該看一看!


2.數學與常識

Mathematics And Common Sense

作者:Howson, Geoffrey.

出處:C. Asina, J.M. Alvarez, B. Hodgson, C.Laborde & A .Perezi (ed.),8th ICME selected Lectures (1996), 257-269.

簡介:

關於常識(common sense),我需要引荷蘭Freudenthal的現實觀點,他認為常識的增長建立在我們經驗為真的現實上(reality),Freudenthal認為應該培養學生把數學當作一種活動,並且是引導下可以再創的物。作者Howson 這位英國學者具有很強的國際觀,曾經比較各國數學課程發展方式與教學取向,他在英國數學教育界是一個長輩,比Skemp 稍為一點,比Alan BishopC.HoylesK.Hart他們早,他也是數學家轉向數學教育的,本文是一個數學家對數學的反思,所以這一篇也是比較哲學的。


 

3.數學教育當作一種「設計科學」

Mathematics Education As A Design Science

作者:Wittmann,Erich Ch.

出處:Sierpinska, A. & Kilpatrick, J.(ed.)(1998). Mathematics Education as a Research Domain: A Search for Identity, 87-103.

簡介:

把數學教育當作是一種「設計科學」,這是一種哲學觀,這觀點比較代表性的人物,就是德國的Wittmann 教授,這篇文章相當程度的呈現了他的想法。做數學教育的人應該專注於設計好的學習活動、一些核心的活動讓學生快樂地學習,從設計科學的觀點,這篇文章應該值得大家看一看。


 4.關係性了解與工具性了解

Relational Understanding And Instrumental Understanding

作者:Skemp, Richard R.

出處:” Mathematical Teaching ”the Bulletin of the Association of Teachers of Mathematics NO.77,December (1976).

簡介:

這一篇文章的寫作手法相當有趣,你會看到什麼叫做自己在一篇文章裡面作論辯,比如說他把關係性了解跟工具性了解二分以後,用這個語言來解釋一般數學教室內的現象,在文章裡面Skemp說他想要把關係性了解的地位提昇,因為理念上當然這個是比較好的,可是他總要為工具性的了解提出辯解--也就是說,為什麼在現實的教室裡面工具性了解的數學那麼普遍?你要凸顯另外一個關係性了解的好處,不是只講工具性了解的負面就好,工具性了解所以會在現實世界裡那麼普遍一定有它的道理,這些道理要把它分析清楚,然後建立在這上面讓人家信服說「對!這些我都相信了」,之後再去提另外一種觀點,所以這篇文章等於是Richard Skemp 的經典著作。關於這一篇文章還有一個很重要的訊息要談,這一篇文章在整個數學教育界是一個很典範的一篇論文,是一個比較理論性的論文,雖然它刊登的雜誌本身並不是很有名,也就是說學術地位不是很高, Mathematical Teaching就有一點類似國內的「科學教育月刊」,比較是給數學老師看的,可是後來在學術界這篇文章變成典範,它的地位並不因它刊登的期刊的學術性比較弱、普遍性比較強而減低它的學術地位。台灣當下好像還沒有發展出像這樣的學術倫理去接納一篇刊登在不是非常學術的期刊上,但寫得非常好的文章,這是一個值得我們借鏡的例子。

5.中學數學中的學童法

Child-Methods In Secondary mathematics

作者:Booth, Lesley R.

出處:Educational Studies in Mathematics 12 (1981),29-41.

簡介:

Lesley Booth 這一篇文章基本上它是整合了英國當年從1975年做到1980年的CSMS研究計畫中的某種特殊現象。她統籌各個概念了解的研究結果來看,歸納出學生在中學數學裡面常常呈現的某一些他們自認為比較有信心的方法,她把它叫做「學童法」,現在有很多語言在描述這件事情了,比如說學童法有人又叫做「學童的理論」—children theory。根據當時出版本文的期刊總編輯Alan Bishop說,這一篇文章是他當十年總編輯的期間,「唯二」中的一篇,投稿以後,審查委員說就直接刊登,一個字不用改,所以學術界對這一篇文章的寫作非常讚賞。因此這篇文章除了內容之外,它的寫作風格也非常值得我們去好好仔細閱讀的。



6.數學教育中的層次理論

Hierarchies In Mathematics Education

作者:Hart,K.

出處:Educational Studies in Mathematics 12 (1981),205-218.

簡介:

Hart 教授這一篇「數學教育中的層次理論」,是當年Alan Bishop 邀請他去劍橋大學演講以後鼓勵他把它寫出來的。HartCSMS計畫的龍頭,CSMS基本上都是在談了解層次,它的了解層次所建立的是一些學習狀況比較接近的某個階段學生數學了解的發展次序,比如說兩年內或三年內的學生。Hart認為這是一種比較「水平性」的了解層次,可用來跟Piaget的理論--一個人從小到大,比如說:知覺期、具體操作期、形式操作期……等鉛直階段發展作對照,因此數學教育裡面就變成有「水平的發展」、「鉛直的發展」這樣兩種想法。Hart在這篇文章中呈現這樣的想法,這也等於是CSMS一種統整的文獻,可以提供一些很不一樣的想法給我們,所以應該值得看。

荷蘭的現實數學教育強調數學學習就是進行數學化的過程(mathematization)。其中數學化也分成水平與鉛直兩種,但意義與上述層次理論間的異同,是入門者的挑戰。

 


7.CONCEPT IMAGE AND CONCEPT DEFINITION IN

MATHEMATICS WITH PARTICULAR REFERENCE TO

LIMITS AND CONTINUITY

作者:Tall D. & Vinner S.(1981)

出處:E.S.M 12, p.151~169

簡介:

選擇這一篇文章是要瞭解在心理學中,到底有那一些元素,是有意義、而可以把他借用過來談數學教育裡的一些學習現象;一個人學了概念之後,他腦筋裡面存在的概念心像,和用文字敘述的數學概念定義之間一定有落差,因此將概念心像從心理學借用過來,可以解釋很多數學中在概念學習的很多現象,因此像這樣的文章,也是一個很有啟發性的論文。

 


8.動態可折回的數學瞭解模式

FOLDING BACKDYNAMICS IN GROWTH OF

MATHEMATICAL UNDERSTANDING

作者:Pirie S.E.B & Kieren T.F

出處:PME 15 Vol.13 p.169~176

簡介:

本篇為英國Susan Pirie及加拿大 Thomas Kieren的著作,Pirie曾擔任Skemp的研究助理,原欲以Skemp的想法在教室中觀察學生的瞭解到底為工具性瞭解、關係性瞭解、還是符號性的瞭解,但卻發現一個理念上非常好的理論、大家都認同的理論,實作上可能不見得好用,Pirie實作發現學生的數學瞭解,用Skemp的這套理論很難介定,因此開始思考怎樣的數學瞭解模式適合呈現教室內學生學習的歷程。

  PirieKieren針對學生在一個短短的時間內,如何瞭解一點點數學的歷程,建立了一個動態可折回的洋蔥式的模型,到目前2001年都還有人用這套理論來分析教室內學生的學習現象,這套理論也能用來解釋教師如何用來介入學生的學習,不過這樣的理論比較適合用來分析小組學習的狀況,用在班級性的學習侷限性就較大。


 9.數學概念的對偶性:對過程、對物件的反思是一體的兩面

ON THE DUAL NATURE OF MATHEMATICAL

CONCEPTIONSREFLECTIONS ON PROCESSES AND

OBJECTS AS DIFFERENT SIDES OF THE SAME COIN

作者:Sfard .A (1991)

出處:E.S.M 22 p.1~p.36

簡介:

Anna Sfard在數學教育界被大家認為是一位很有思想的作家,我們常常用到他所提出的代數思維過程理論,就是代數物件先內部化,經過壓縮,再物化,物化後才能操弄他。

  這與Dubinski 根據Piget理論所提出的膠囊化理論是滿接近的,Piaget是反思進而抽象,這裡的反思則在整個過程,或是整個物件,基本上是從不同的角度來看,提出他自己的簡單理論,因此若想將自己作的東西理論化的時候,這篇文章是個很好的範本。


 10.INFORMATION TECHNOLOGY AND MATHEMATICS EDUCATION

ENTHUSIASMSPOSSIBILITIES AND REALITIES

作者:Tall D.(1996)

出處:Proceeding of the 8th I.C.M.E

 

簡介:

David Dall是一位數學家,主修拓樸學,進入到數學教育之後又修了一個教育的博士學位,指導教授即為SkempDavid Tall是一個非常聰明的才子,在數學教育中也提了許多好的想法。

選擇這篇文章是因為他剛進入數學教育領域時,是將整個微積分教學用電腦視窗來教學,對我來說比較震撼的是,因為有視窗,所以在其中看到的東西會改變對數學定義的觀點,比如說可微分這個定義,過去我們以圖形來說,若有一個尖點,就是不可微分,比較圓滑就可以微分;將這件事情搬到視窗來說,因為透過電腦可以不斷局部放大,如果曲線放大到一個程度後最後可以變成直線即可微分;因此電腦對於數學帶來的衝擊有那一些面向,例如這種從定義直接改變的想法,我認為David Tall在我經驗中是第一位提出這種想法的人,因此在電腦科技方面選擇了這篇文章,而這篇文章也是他個人這方面的一個結晶,因為這篇文章為David Tall被邀請至第八屆I.C.M.E作專題演講的的文章,在學術生涯中被I.C.M.E邀請作專題演講,即屬顛峰時期了。


11.SOME EXPERIMENTS IN DIAGNOSTIC TEACHING

作者:Bell A. (1993)

出處:E.S.M 24 p.115~p.137

簡介:

在數學教育中當然會談到教學,我們一再提出教學時要以學生為中心,但以學生為中心而非以老師為中心到底代表什麼,也就是說,要去關心學生會些什麼,經驗過什麼,想些什麼,他為什麼這樣想…等,諸如此類的事,教師都必須去關照,這並不是一件容易的事。

  瞭解這一方面的事之後,教師可以瞭解學生為何會犯錯,碰到困難時錯誤會發生在那裡,所以教學時要設計,讓他自己知道這些錯,用Piaget的理論來說,就是要設計一些活動讓他知道自己錯了,然後他想去瞭解,然後再帶進來設計一些活動讓他去學習,像這樣整套的東西簡單來說就是診斷教學,而談診斷教學大概英國Alan Bell是一個代表性的人物,我們選擇了一篇他在退休之前所整理出來的文章,內容是一個診斷教學的教學實驗,以Alan Bell較熟悉的教學實驗作為他的代表作。


 12.CHLLENGING THE TRADITIONAL

SCHOOL APPROACH TO THEOREMSA HYPOTHESIS

ABOUT THE COGNITIVE UNITY OF THEOREMS

作者:Paolo Boero,Rossella Garuti,Enrica Lemut M.Alessandra Mariotti

出處:P.M.E 20 ,vol.2, p.113~p.120

簡介:

Paolo Boero是一位義大利的學者,也是數學家轉數學教育,他的文章寫得相當深入,研究也很嚴謹,在義大利的研究風格上,他是一個代表性的人物,尤其對於學生如何證明方面,他所作的實驗性、探究性的工作,非常有名。因為他是很嚴謹的來看待數學,所以他會帶一些實徵性的研究,例如他會帶學生到街頭,讓學生模擬為何影子跟高度會成線性比例,像這樣的活動會比我們的更根本,更實徵,因此我認為他的文章很值得我們學習。


13.研究數學解題時的情意問題

Affective Issues in Research

on Teaching Mathematical Problem Solving

作者:Douglas B. McLeod

出處:E.A.Silver(ed.)Teaching and learning mathematical problem solving (1986).267-279

簡介:

論及數學學習情意的研究,本文的作者一定常常被列入文獻參考。情意的研究一般來說很少針對特別的教學活動,通常是指向科目或是單元。但是,作者在這篇文章即特別針對數學解題的情意現象,並提出不同於往常的情意研究觀點。作者把以往採用問卷方式藉以呈現學生在不同向度的情意現象,當成向量式的觀點。如果透過學生在數學解題的過程中觀察學生呈現的驚喜或焦慮等等情緒變化,這種觀察學生真實面對數學解題的研究觀點好比數學的拓樸學研究鄰近區域的特性。作者認為研究數學解題的情意現象應該採用這種拓樸式的觀點,觀察情意變化的特性。本文為情意研究提供新的理念,是值得細讀的好文章。


 14.學生對數學學習的觀點

The Pupils View of Mathematics Learning

作者:Celia Hoyles

出處:E.S.M.13(1982)349-372

簡介:

關於情意的研究,除了上一篇之外,再選這篇也是由於本文的研究方式非常特別。當研究關於學生學習數學的態度、信念時,開門見山的問題通常都會涉及數學這兩個字。雖然本文也是探討關於數學學習態度的問題,但研究者為避免學生面對數學兩個字時所引起的各種心理效應,改用開放自然的問題:你最喜歡的學習經驗是什麼?最不喜歡的學習經驗是什麼?希望在沒有學科限制下,發現學生在數學學習的困難。這種表現在研究設計上的創意,也是值得大家參考的。


15.在數學教育的轉譯過程

Translation Processes in Mathematics Education

作者:Claude Janvier

出處:Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (1987).27-32

簡介:

數學表在數學概念發展中扮演著重要的角色,關於表的理論在80年代已引起廣泛的探討,此篇文章也是在相關的研究中扮演相當重要的角色。研究者以函數為例,顯示表之間的轉譯是數學教育的重要活動。在2000年,Duval則進一提出轉譯不足以達到數學概念的發展,必須再透過不同表之間的協調作用,才能完成概念的發展。所以這篇文章可作為研究概念發展的起點,接著請繼續參考DuvalPME 2000年所發表的文章。

 

 


16.將教師專業發展概念化

Conceptualizing the Professional Development of Teachers

作者:Thomas J. Cooney

出處:C. Asina, J.M. Alvarez, B. Hodgson, C.Laborde & A .Perezi (ed.),8th ICME selected Lectures (1996), 101-117

簡介:

本文的作者Cooney從80年代至今,一直研究教師信念的問題。研究者認為真正主導教師教學的關鍵是教學信念,掌控如何運用教師本身的學科和教學知識。對於學生教師的信念系統,研究者提出有四種不同的發展階段,但尚未提出成長的機制。此外,Cooney的理論將數學教學視為一個整體,但是更精緻的分析可能發現教師在不同單元或不同活動的教學成長也各有不同。希望透過本文,可以促進教師信念相關的後續研究。


17.對於數學教師教育研究觀點的回顧

A Review of Research Perspectives

on Mathematics Teacher Education

作者:Stephen Lerman

出處:F.-L. Lin & T. J. Cooney(eds.)Making Sense of mathematics Teacher Education(2001).33-52

簡介:

這篇是教師教育在近20年來的研究回顧,幫助研究教師教育的生手具有相關整體的概念。但是本文除了提供近代數學教師教育的文獻回顧,也探討關於教師學習尚未釐清的主張。本文最後建議教師的學習理論探究,兼顧動機、實作社群及後現代主義等等社會互動理論之之主張應是充實未來研究發展的好方向。


18.Accounting For Mathematical Learning In The Social Context Of The Classroom

作者:Cobb, Paul.

出處:C. Asina, J.M. Alvarez, B. Hodgson, C.Laborde & A .Perezi (ed.), 8th ICME selected Lectures (1996), 85-99.

簡介:

本篇文章根據社會建構理論將數學教室內發生的情況具體的呈現出來的。作者主要是從社會面向來描述數學教室內的活動,他將數學教室內的活動分成「教室內的社會規約」、「數學社會規約」以及「教室內的數學實作」這幾個面向,然後再來看這些所對應的心理面向的意義,所以這篇文章應該要看。閱讀這篇文章應該同時再參考本文參考文獻中所列最後一篇1996年刊登在J RME上的文章。


 19.Real Problems with Real World Mathematics

作者:Jan de Lange

出處:8th ICME Proceeding(1996), 83-110.

簡介:

本篇是Freudenthal Institute 的中心主任Jan de Lange在1996年ICME8的演講稿,他是ICME8四個邀請專題演講中的一個,顯示出荷蘭的現實主義數學教育的成果被國際數學所教育界肯定。在這一篇文章中,由Jan來直接告訴我們,「現實的數學」到底在哪裡?比如說,我們可能會認為現實生活中與高中數學相關的題材應該很少,但在本文作者Jan之前的著作 Mathematics, insight and meaning1987)一書中就為我們找到很多這樣的例子。也就是說如果我們自己的想法可以鬆綁的話,我們還是可以在現實生活中找到很多與各級學校數學相關的例子,而數學學習如果能引進這些想法的話,很多現況可能就會因此改觀。與這篇文章相關的一份參考資料是荷蘭2000年高職學生的數學學力測驗」試題,那裡面的問題很值得讓我們去思考「到底數學教育的選材的方向應該在哪裡?」。比如說那裡面有一道題目是先告訴學生波音747飛行時的的空氣阻力、感應阻力的計算方式等相關資料,然後問學生怎麼樣的飛行速度可以讓阻力的和最小、如何規劃速度可以讓飛行最經濟……等一連串的問題,像這些問題,高職的學生怎麼作?在台灣的話就不太可能,這表示我們跟他們在選材時有截然不同的思考。在這裡Jan本人親自告訴我們一些現實社會裡面真正可以看到的數學問題,啟發我們怎樣去思考這些現實的問題,所以這篇文章應該看一看。